 |
|
|
|
|
|
Из классической работы Д.Пойа, на которой воспитались целые поколения талантливых математиков, выделены краткие ключевые моменты, усвоение которых преследует цель обучения детей решению любых творческих задач
Мы знакомимся с задачей
С чего мне начать? Начните с формулировки задачи.
Что я могу сделать? Представьте себе задачу как целое, как можно яснее и нагляднее. Пока не вдавайтесь в детали.
Чего я смогу этим добиться? Нам нужно понять задачу, освоиться с ней, запечатлеть ее в своем сознании. Сосредоточивая на задаче свое внимание, вы подготовляете свою память к тому, чтобы извлечь из нее все, что может принести вам пользу.
Мы вникаем в задачу
С чего мне начать? Начните опять с формулировки задачи. Начните тогда, когда задача стала столь ясной и столь прочно запечатлелась в вашем сознании, что вы в состоянии на время расстаться с ней без риска забыть ее.
Что я могу сделать? Разделите задачу на главные элементы. Предпосылка и заключение представляют собой главные элементы «задачи на доказательство»;
неизвестное, данные и условие—главные элементы «задачи на нахождение». Изучите главные элементы вашей задачи, рассматривая, их поодиночке, затем последовательно одну за другой, затем в разнообразных сочетаниях, сопоставляя каждую деталь с другими деталями и со всей задачей в целом.
Чего я смогу, этим добиться? Вы сможете разобраться в деталях задачи, которые впоследствии, вероятно, будут играть определенную роль.
Мы ищем плодотворную идею
С чего мне начать? Начинайте с рассмотрения главных элементов задачи. Начинайте тогда, когда в результате предшествующей работы вы их хорошо уяснили себе и привели в определенную систему, и тогда, когда ваша память наиболее ясна и послушна вам.
Что я могу сделать? Рассмотрите задачу с различных сторон и найдите ее точки соприкосновения с вашими, ранее приобретенными знаниями.
Рассмотрите задачу с различных сторон. Делайте упор на различные элементы, исследуйте различные детали, исследуйте одни и те же детали по нескольку раз, но с различных точек зрения, по-разному сопоставляйте детали, подходите к ним с различных сторон.
Пытайтесь усмотреть новое в каждой детали, некоторую новую интерпретацию задачи в целом.
Ищите точки соприкосновения с вашими ранее приобретенными знаниями. Старайтесь вспомнить, что вам помогало прежде в подобных случаях.
Пытайтесь увидеть нечто знакомое в том, что вы исследуете, и нечто полезное в том, что оказалось знакомым.
На что я мог бы натолкнуться? На плодотворную идею, может быть, на решающую идею, которая мгновенно указала бы путь к цели.
В чем может состоять плодотворность идеи? Такая идея указывает вам весь путь или его часть; она более или менее ясно подсказывает вам, как нужно действовать.
Идеи бывают более или менее полные. Вам повезло, если у вас есть хоть какая-нибудь идея.
Что мне делать с неполной идеей? Надо ее рассмотреть.
Если она оставляет впечатление полезной в то» или иной мере, вам следует рассмотреть ее подробнее.
Если кажется, что на нее можно опереться, нужно проверить, как далеко вы можете продвинуться при ее помощи, и вновь рассмотреть создавшееся положение. Ситуация изменилась благодаря тому, что теперь у вас имеется полезная идея.
Рассмотрите создавшееся положение с различных сторон и ищите точки соприкосновения с вашими ранее приобретенными знаниями.
Чего я смогу этим добиться? Вам может повезти, вы можете натолкнуться на новую идею.
Возможно, следующая идея приведет вас прямо к решению.
Возможно, вам потребуется еще несколько удачных идей и после следующей.
Тем не менее вам следует быть благодарным за все новые идеи, в том числе и за скромные, и за расплывчатые, и за вспомогательные, уточняющие расплывчатые или улучшающие другие, не очень удачные. Даже если пока вам не удается натолкнуться на какую-нибудь ценную новую идею, вы должны быть довольны уже тем, что приходите к более полному, более связному, более однородному восприятию задачи.
Мы осуществляем план
С чего мне начать? Начинайте со счастливой идеи, приведшей вас к решению. Начинайте, когда вы уверены в том, что крепко ухватили главную мысль, и чувствуете себя в состоянии проанализировать детали, которые могут понадобиться.
Что я могу сделать? Закрепите свой успех. Выполните во всех деталях те алгебраические или геометрические действия, которые вы предварительно сочли выполнимыми.
Убедитесь в правильности каждого шага либо при помощи логических рассуждений, либо при помощи интуитивных рассмотрении; либо, если возможно, обоими способами. Если задача очень сложна, вы можете различать «большие» шаги и «малые» шаги, разделяя каждый большой шаг на несколько малых.
Проверяйте вначале большие шаги, а затем переходите к малым.
Чего я смогу этим добиться? Того, что в ваших руках окажется решение, каждый шаг которого будет, без сомнения, правилен.
Мы оглядываемся назад
С чего мне начать? С решения, полного и правильного в каждой своей детали.
Что я могу сделать? Рассмотрите решение с различных сторон и найдите точки соприкосновения с вашими ранее приобретенными знаниями.
Рассмотрите детали решения, стараясь максимально упростить их; обратите внимание на громоздкие части решения и попытайтесь сделать их короче; постарайтесь охватить все решение одним взглядом.
Постарайтесь улучшить малые или большие части решения и усовершенствовать все решение в целом, сделать его интуитивно ясным. Найти для него естественное место в системе ваших ранее приобретенных знаний.
Вглядитесь в метод, приведший вас к решению; постарайтесь выяснить, что в нем является главным и применить его к другим задачам.
Всмотритесь в результат и попытайтесь использовать его, чтобы решить другие задачи.
Чего я смогу этим добиться? Вы можете найти новое, лучшее решение, можете обнаружить новые интересные факты. Во всяком случае, если вы приобретете привычку рассматривать и оценивать полученные решения указанным образом, вы сможете пополнить свои знания новыми, приведёнными в стройную систему и готовыми к применению, и развить свои способности к решению задач.
КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧУ
ПОНИМАНИЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ
I. Нужно ясно понять задачу.
Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие?
Возможно ли удовлетворить условие?
Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво?
Сделайте чертеж.
Введите подходящие обозначения. Разделите условие на части. Постарайтесь записать их.
Составление плана решения
II. Нужно найти связь между данными и неизвестным.
Если не удается сразу обнаружить эту связь, возможно, полезно будет рассмотреть вспомогательные задачи. В конечном счете необходимо прийти к плану решения.
Не встречалась ли вам раньше эта задача? Хотя бы в несколько другой форме?
Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? Не знаете ли теоремы, которая бы могла оказаться полезной?
Рассмотрите неизвестное! И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным неизвестным.
Вот задача, родственная с данной и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею?
Нельзя ли применить ее результат? Нельзя ли использовать метод ее решения?
Не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможно воспользоваться
прежней задачей?
Нельзя ли иначе сформулировать задачу? Еще иначе? Вернитесь к определениям.
Если не удается решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную. Нельзя ли придумать более доступную сходную задачу? Более общую. Более частную? Аналогичную задачу?
Нельзя ли решить часть задачи?
Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть: насколько определенным окажется тогда неизвестное; как оно сможет меняться?
Нельзя ли извлечь что-либо полезное из данных? Нельзя ли придумать другие данные, из которых можно было бы определить неизвестное? Нельзя ли изменить неизвестное, или данные, или, если необходимо, и то и другое так, чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу?
Все ли данные вами использованы? Все ли условие? Приняты ли вами во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?
ОСУЩЕСТВЛЕНИЕ ПЛАНА
III.Нужно осуществить план решения.
Осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен? Сумеете ли доказать, что он правилен?
ВЗГЛЯД НАЗАД
(изучение полученного решения)
IV. Нужно изучить найденное решение.
Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверить ход решения?
Нельзя ли получить тот же результат, иначе? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда?
Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать Полученный результат или метод решения?
Как искать решение?
(Сокращенный вариант таблицы)
1.Понять предложенную задачу
2.Найти путь от неизвестного к данным, если нужно, рассмотрев промежуточные задачи «анализ»)
3.Реализовать найденную идею решения («синтез»)
4.Решение проверить и оценить критически
1.
Что гласит задача? Что дано? Что нужно найти?
Определено ли неизвестное данными задачи? Или они недостаточны, или же чрезмерны?
Нельзя ли сформулировать задачу иначе?
Нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным решением? Или с задачей, решающейся проще? Решающейся сразу?
Эти вопросы нужно повторять каждый раз, когда в ходе решения наступает заминка, при решении каждой промежуточной задачи. Кроме того: Все ли данные задачи были уже использованы?
2.
Сформулировать отношение (или отношения) между неизвестными и данными.
Преобразовать неизвестные элементы. Попытаться ввести новые неизвестные, более близкие к данным задачи.
Преобразовать данные элементы. Попытаться получить, таким образом, новые элементы, более близкие к искомым неизвестным.
Решить только часть задачи.
Удовлетворить только части условий: насколько неопределенным окажется тогда неизвестное? (Геометрические места!)
Обобщить.
Рассмотреть частные случаи. Применить аналогию.
3.
Испытывать правильность каждого шага, принимая лишь то, что «усматривается с полной ясностью или выводится с полной достоверностью»(Декарт)
«Заменить термины их определениями» (Паскаль)
4.
Правдоподобен ли результат? Почему?
Нельзя ли сделать проверку?
Нет ли другого пути, ведущего к полученному результату?
Более прямого пути? Какие результаты еще можно получить на том же пути?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
 |
